El Pi griego es una constante indicada con π, utilizada en matemáticas y física, y es un número irracional y trascendente, es decir, las cifras decimales se suceden sin una solución de continuidad.
En la geometría plana, π se define como la relación entre la medida de la longitud de la circunferencia y la medida de la longitud del diámetro de un círculo, o también como el área de un círculo de radio 1.
Se quiere crear un fragmento de programa que determine, a través del método de Arquímedes, una aproximación lo más precisa posible del valor real del pi.
El método de Arquímedes, utilizado por primera vez por el matemático en el siglo III a.C., prevé el cálculo del pi considerando la medida de una circunferencia especialmente elegida y los perímetros de los polígonos inscritos en ella.
Mira este video para entender el método de Arquímedes matemático siciliano.
El pi es una constante indicada con π, utilizada en matemáticas y física, y es un número irracional y trascendente, lo que significa que sus cifras decimales no se repiten periódicamente.
En la geometría plana, π se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro de un círculo, o como el área de un círculo de radio 1.
Queremos crear un programa que calcule, con el método de Arquímedes, una aproximación de pi, lo más cercana posible a su valor real.
El método de Arquímedes, utilizado por primera vez por el matemático en el siglo III a.C., prevé el cálculo de pi considerando la longitud de una circunferencia especialmente elegida y los perímetros de los polígonos inscritos en ella.
El método de Arquímedes prevé el cálculo del pi considerando la medida de una circunferencia (1) especialmente elegida (radio = ½) y los perímetros de los polígonos regulares (2) inscritos en ella.
La circunferencia se calcula como , por lo tanto, sustituyendo la medida del radio que vale ½, la longitud de la circunferencia es igual a π.
Considerando un polígono inscrito en la circunferencia, se nota que cuanto más se aumenta el número de sus lados, más se acerca el valor de su perímetro al de la circunferencia, en este caso a π.
Para calcular el perímetro de un polígono regular con un número arbitrario de lados (n).
Se construye un segmento (AD) que parte de A y es perpendicular al lado BC, de modo que lo divide por la mitad (BD = DC).
Consideramos el triángulo rectángulo de la figura: el segmento BD (a) es igual a la mitad del lado, y gracias a la trigonometría (3), podemos deducir que el seno θ (4) es 2a, que también es la medida del lado.
El perímetro de un polígono regular se calcula como el número de lados por su longitud, por lo tanto, es igual a
P = n * 2a
En este punto, con todas las sustituciones, el perímetro es igual a
P = n * sen(θ)
Razonando sobre el ángulo, se nota que es igual al ángulo giro (360°) dividido por el doble del número de lados (a = ½ lado).
P = n * sen((360°) / 2n) = n * sen((180°) / n)
Por lo tanto:
π = n * sen((180°) / n)
Código
package pigreco;
public class Pigreco {
public static void main(String[] args) {
double p; /** inicialización de una variable double;
* las variables double, a diferencia de las int,
* representan números decimales con muchas cifras después de la coma */
int lati; /** el número de lados es entero,
* porque no puede existir un polígono con, por ejemplo, 6,7 lados */
for(lati = 3; lati <= 10000; lati++) /** el ciclo for permite repetir la
* función que se encuentra dentro de las llaves para un número de
* veces tales que el número de lados del polígono vaya de 3 a 10000 */
{
p = lati * (Math.sin(Math.toRadians(180 / lati))); /** formalización
* de la operación pi = lados * seno (180 / número de lados) */
System.out.println("número de lados = " + lati + " valor del pi = " + p + " "); /** visualiza en pantalla número de lados = … valor del pi = … */
}
}
}
A pantalla aparecerán 10000 valores de lados y las correspondientes aproximaciones del valor de pi
[…]
número de lados = 174 valor del pi = 3.036718720087331
número de lados = 175 valor del pi = 3.0541711265246145
número de lados = 176 valor del pi = 3.071623532961898
número de lados = 177 valor del pi = 3.0890759393991813
número de lados = 178 valor del pi = 3.106528345836465
número de lados = 179 valor del pi = 3.1239807522737486
número de lados = 180 valor del pi = 3.141433158711032
[…]
Conclusión
Se demuestra que, al aumentar el número de lados del polígono inscrito, el valor de pi se vuelve más preciso.
El uso de un calculador permite realizar operaciones elementales entre números en tiempos muy breves, ofreciendo la posibilidad de resolver cálculos complejos mediante el uso de algoritmos; sin embargo, el calculador, al ser una máquina finita, está obligado a operar con números que tienen una cantidad finita de cifras, por lo tanto, el resultado será transcrito mediante un truncamiento o una aproximación. En general, un número real introducido en el calculador se aproxima mediante un número de máquina.
Esto significa que, al ejecutar un algoritmo en un calculador, se crea y se propaga el error, por lo tanto, el resultado obtenido del algoritmo difiere del resultado exacto, es decir, del que se obtendría trabajando con números reales.
Leyenda
1) Circunferencia: lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.
2) Polígono regular: porción convexa del plano euclidiano delimitada por una línea quebrada cerrada, formada por una sucesión de segmentos de igual longitud (llamados lados), que forman entre sí ángulos de igual amplitud.
3) Trigonometría: parte de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.