Le Pi grec est une constante indiquée avec π, utilisée en mathématiques et en physique, et c'est un nombre irrationnel et transcendant, ce qui signifie que ses chiffres décimaux se succèdent sans solution de continuité.
Dans la géométrie plane, π est défini comme le rapport entre la mesure de la longueur de la circonférence et la mesure de la longueur du diamètre d'un cercle, ou encore comme l'aire d'un cercle de rayon 1.
Nous voulons créer un programme qui détermine, grâce à la méthode d'Archimède, une approximation la plus précise possible de la valeur réelle de pi.
La méthode d'Archimède, utilisée pour la première fois par le mathématicien au IIIe siècle avant J.-C., prévoit de calculer pi en prenant en compte la mesure d'une circonférence spécialement choisie et les périmètres des polygones qui lui sont inscrits.
Regardez cette vidéo pour comprendre la méthode d'Archimède, mathématicien sicilien.
Le nombre pi est une constante indiquée avec π, utilisée en mathématiques et en physique, et c'est un nombre irrationnel et transcendant, ce qui signifie que ses chiffres décimaux ne reviennent pas périodiquement.
Dans la géométrie plane, π est défini comme le rapport entre la longueur de la circonférence et la longueur du diamètre d'un cercle, ou encore comme l'aire d'un cercle dont le rayon est 1.
Nous voulons créer un programme qui calcule, grâce à la méthode d'Archimède, une approximation de pi, la plus proche possible de sa valeur réelle.
La méthode d'Archimède, utilisée pour la première fois par le mathématicien au IIIe siècle avant J.-C., prévoit de calculer pi en prenant en compte la mesure d'une circonférence spécialement choisie et les périmètres des polygones inscrits en elle.
La méthode d'Archimède prévoit de calculer pi en prenant en compte la mesure d'une circonférence(1) spécialement choisie (rayon = ½) et les périmètres des polygones réguliers(2) qui lui sont inscrits.
La circonférence se calcule comme , donc en substituant la mesure du rayon qui vaut ½, la longueur de la circonférence est égale à π.
En considérant un polygone inscrit dans la circonférence, on remarque que plus on augmente le nombre de ses côtés, plus la valeur de son périmètre se rapproche de celle de la circonférence, dans ce cas, de π.
Pour calculer le périmètre d'un polygone régulier avec un nombre arbitraire de côtés (n).
On construit un segment (AD) qui part de A et est perpendiculaire au côté BC de manière à le diviser en deux (BD=DC).
On prend en compte le triangle rectangle de la figure : le segment BD (a) est égal à la moitié du côté et, grâce à la trigonométrie(3), on peut déduire que le sin Θ(4) est 2a, qui est également la mesure du côté.
Le périmètre d'un polygone régulier se calcule comme le nombre de côtés multiplié par leur longueur, donc il est égal à
P=n 2a
À ce stade, avec toutes les substitutions, le périmètre est égal à
P=n sin(θ)
En raisonnant sur l'angle, on remarque qu'il est égal à l'angle de rotation (360°) divisé par le double du nombre de côtés (a = ½ côté).
P=n sin((360°)/2n)=n sin((180°)/n)
Donc :
π=n sin((180°)/n)
Code
package pigreco;
public class Pigreco {
public static void main(String[] args) {
double p; /** initialisation d'une variable double;
* les variables double, à la différence des int,
* représentent des nombres décimaux avec de nombreuses chiffres après la virgule */
int lati; /** le nombre de côtés est un entier,
* car il ne peut exister un polygone avec, par exemple, 6,7 côtés */
for(lati=3;lati<=10000;lati++) /** la boucle for permet de répéter la
* fonction qui se trouve à l'intérieur des parenthèses pour un nombre de
* fois tel que le nombre de côtés du polygone va de 3 à 10000 */
{
p =lati*(Math.sin(Math.toRadians(180/lati))); /** formalisation
* de l'opération pi = côtés x sin ( 180/côtés ) */
System.out.println(“nombre de côtés = “+lati+” valeur de pi = “+p+” “); /** affiche à l'écran nombre de côtés = … valeur de pi = … */
}
}
A l'écran apparaîtront 10000 valeurs de côtés et les approximations correspondantes de la valeur de pi
[…]
nombre de côtés = 174 valeur de pi = 3.036718720087331
nombre de côtés = 175 valeur de pi = 3.0541711265246145
nombre de côtés = 176 valeur de pi = 3.071623532961898
nombre de côtés = 177 valeur de pi = 3.0890759393991813
nombre de côtés = 178 valeur de pi = 3.106528345836465
nombre de côtés = 179 valeur de pi = 3.1239807522737486
nombre de côtés = 180 valeur de pi = 3.141433158711032
[…]
Conclusions
On démontre que, à l'augmentation du nombre de côtés du polygone inscrit, la valeur de pi devient de plus en plus précise.
L'emploi d'un calculateur permet d'effectuer des opérations élémentaires entre des nombres en très peu de temps, offrant la possibilité de résoudre des calculs complexes en utilisant des algorithmes ; cependant, le calculateur, étant une machine finie, est contraint d'opérer avec des nombres ayant une quantité de chiffres finie, donc le résultat sera tronqué ou approximé. En général, un nombre réel introduit dans le calculateur est approximé par un nombre machine.
Cela signifie que, en exécutant un algorithme sur un calculateur, on a une création et une propagation des erreurs, donc le résultat obtenu de l'algorithme diffère du résultat exact, c'est-à-dire de celui que l'on obtiendrait en travaillant avec des nombres réels.
Légende
1) Circonférence : lieu géométrique des points équidistants d'un point fixe appelé centre.
2) Polygone régulier : portion convexe du plan euclidien délimitée par une ligne brisée fermée, formée d'une succession de segments de même longueur (appelés côtés), qui forment entre eux des angles de même amplitude.
3) Trigonométrie : partie de la mathématique qui étudie les relations entre les côtés et les angles des triangles rectangles.