Le Pi grec est une constante indiquée avec π, utilisée en mathématiques et en physique, et c'est un nombre irrationnel et transcendant, c'est-à-dire que les chiffres décimaux se suivent sans solution de continuité.
Dans la géométrie plane, π est défini comme le rapport entre la mesure de la longueur de la circonférence et la mesure de la longueur du diamètre d'un cercle, ou comme l'aire d'un cercle de rayon 1.
Nous voulons créer un programme qui calcule, avec la méthode d'Archimède, une approximation de Pi, la plus proche possible de sa valeur réelle.
La méthode d'Archimède, utilisée pour la première fois par le mathématicien au IIIe siècle avant J.-C., consiste à calculer Pi en considérant la mesure d'une circonférence choisie et les périmètres des polygones inscrits dans celle-ci.
Regardez cette vidéo pour comprendre la méthode d'Archimède, mathématicien sicilien.
Pi est une constante indiquée avec π, utilisée en mathématiques et en physique, et c'est un nombre irrationnel et transcendant, ce qui signifie que ses chiffres décimaux ne reviennent pas périodiquement.
Dans la géométrie plane, π est défini comme le rapport entre la longueur de la circonférence et la longueur du diamètre du cercle, ou comme l'aire d'un cercle dont le rayon est 1.
Nous voulons créer un programme qui calcule, avec la méthode d'Archimède, une approximation de Pi, la plus proche possible de sa valeur réelle.
La méthode d'Archimède, utilisée pour la première fois par le mathématicien au IIIe siècle avant J.-C., consiste à calculer Pi en considérant la mesure d'une circonférence choisie et les périmètres des polygones inscrits dans celle-ci.
La méthode d'Archimède prévoit de calculer Pi en considérant la mesure d'une circonférence(1) choisie (rayon = ½) et les périmètres des polygones réguliers(2) inscrits dans celle-ci.
La circonférence se calcule comme , donc en remplaçant la mesure du rayon qui vaut ½, la longueur de la circonférence est égale à π.
En considérant un polygone inscrit dans la circonférence, on remarque que plus on augmente le nombre de ses côtés, plus la valeur de son périmètre se rapproche de celle de la circonférence, dans ce cas, de π.
Pour calculer le périmètre d'un polygone régulier avec un nombre arbitraire de côtés (n).
On construit un segment (AD) qui part de A et est perpendiculaire au côté BC de manière à le diviser en deux (BD=DC).
Nous considérons le triangle rectangle de la figure : le segment BD (a) est égal à la moitié du côté et, grâce à la trigonométrie(3), nous pouvons déduire que le sin Θ(4) est 2a, qui est également la mesure du côté.
Le périmètre d'un polygone régulier se calcule comme le nombre de côtés multiplié par leur longueur, il est donc égal à
P=n 2a
À ce stade, avec toutes les substitutions, le périmètre est égal à
P=n sin(θ)
En réfléchissant à l'angle, on remarque qu'il est égal à l'angle de rotation (360°) divisé par deux fois le nombre de côtés (a = ½ côté).
P=n sin((360°)/2n)=n sin((180°)/n)
Donc :
π=n sin((180°)/n)
Code
package pigreco;
public class Pigreco {
public static void main(String[] args) {
double p; /** initialisation d'une variable double;
* les variables double, contrairement aux int,
* représentent des nombres décimaux avec de nombreuses chiffres après la virgule */
int lati; /** le nombre de côtés est un entier,
* car il ne peut exister un polygone avec, par exemple, 6,7 côtés */
for(lati=3;lati<=10000;lati++) /** la boucle for permet de répéter la
* fonction qui se trouve à l'intérieur des parenthèses pour un nombre de
* fois tel que le nombre de côtés du polygone va de 3 à 10000 */
{
p =lati*(Math.sin(Math.toRadians(180/lati))); /** formalisation
* de l'opération pi = côtés x sin ( 180/nombre de côtés ) */
System.out.println(“nombre de côtés = “+lati+” valeur de pi = “+p+” “); /** affiche à l'écran nombre de côtés = … valeur de pi = … */
}
}
}
À l'écran apparaîtront 10000 valeurs de côtés et les approximations correspondantes de la valeur de pi
[…]
nombre de côtés = 174 valeur de pi = 3.036718720087331
nombre de côtés = 175 valeur de pi = 3.0541711265246145
nombre de côtés = 176 valeur de pi = 3.071623532961898
nombre de côtés = 177 valeur de pi = 3.0890759393991813
nombre de côtés = 178 valeur de pi = 3.106528345836465
nombre de côtés = 179 valeur de pi = 3.1239807522737486
nombre de côtés = 180 valeur de pi = 3.141433158711032
[…]
Conclusions
Il est démontré que, à mesure que le nombre de côtés du polygone inscrit augmente, la valeur de pi devient de plus en plus précise.
L'utilisation d'un ordinateur permet d'effectuer des opérations élémentaires entre des nombres en un temps très court, offrant la possibilité de résoudre des calculs complexes en utilisant des algorithmes ; cependant, l'ordinateur, étant une machine finie, est contraint de fonctionner avec des nombres ayant un nombre fini de chiffres, donc le résultat sera tronqué ou approximé. En général, un nombre réel introduit dans l'ordinateur est approximé par un nombre machine.
Cela signifie que, en exécutant un algorithme sur un ordinateur, il y a une création et une propagation d'erreurs, donc le résultat obtenu de l'algorithme diffère du résultat exact, c'est-à-dire de celui que l'on obtiendrait en travaillant avec des nombres réels.
Légende
1) Circonférence : lieu géométrique des points équidistants d'un point fixe appelé centre.
2) Polygone régulier : partie convexe du plan euclidien délimitée par une ligne brisée fermée, formée d'une succession de segments de même longueur (appelés côtés), qui forment entre eux des angles de même ampleur.
3) Trigonométrie : partie de la mathématique